jangan di copas yaaaa :)

A.    Aturan Penjumlahan

Jika ada A dan B yang merupakan himpunan saling lepas dengan banyak anggota himpunannya adalah x dan y, maka banyaknya cara mengambil satu anggota dari gabungan keduanya akan sama dengan x+y, dinotasikan:

Atau secara sederhana digunakan saat ada sejumlah kejadian yang tidak saling berhubungan (saling lepas). Dalam kondisi ini kejadian-kejadian tersebut dijumlahkan untuk mendapatkan total kejadian yang mungkin terjadi.

Contoh 1:

Dari kota A ke kota B ada beberapa jenis angkutan yang dapat digunakan. Ada 4 travel, 2 kapal laut, dan 1 pesawat terbang yang dapat dipilih. Ada berapa total cara berbeda untuk berangkat dari kota A menuju kota B?

Pembahasan:

Dalam soal di atas ketika kita memilih travel, kapal laut, maupun pesawat terbang tidak berpengaruh satu sama lain, ketiganya merupakan himpunan yang saling lepas. Sehingga ada 4+2+1 = 7 cara berbeda untuk berangkat dari kota A menuju kota B.

B.    Aturan Perkalian (Aturan Pengisian Tempat/Filling Slots)

Misalnya ada n tempat yang dapat diisi dengan a₁ adalah banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama, a₂ adalah banyak cara mengisi tempat kedua, dan seterusnya hingga a_n adalah banyak cara untuk mengisi tempat ke-n. Maka total cara untuk mengisi n tempat tersebut adalah:

a₁  x a₂ x … x a_n

Contoh 2:

Dari kota A ke B ada 3 jenis angkutan yang bisa digunakan, yaitu travel sebanyak 5 pilihan, kapal laut 4 pilihan, dan pesawat 2 pilihan. Dari kota B ke C ada 2 jenis angkutan yang bisa digunakan, yaitu travel sebanyak 3 pilihan dan kapal laut 1 pilihan. Berapa banyak cara berbeda untuk berangkat dari kota A ke kota C dengan melalui kota B?

Pembahasan:

Dalam soal ini, dapat kita ilustrasikan ada 2 tempat yang harus diisi, tempat pertama adalah banyak cara dari kota A ke B dan tempat kedua adalah banyak cara dari kota B ke C.

Dari ilustrasi di atas terlihat bahwa dari A ke B akan ada 5+4+2 = 11 cara.

Sedangkan dari B ke C akan ada 3+1 = 4 cara.

Dengan demikian, total cara berbeda dari A ke C dengan melalui B adalah 11 x 4 = 44 cara.

Contoh 3:

Dalam sebuah kelas terdapat 29 murid. Ada berapa cara berbeda untuk memilih ketua kelas, wakil ketua kelas, sekretaris, dan bendahara?

Pembahasan:

Akan ada 4 tempat yang harus diisi:

Ketua kelas	Wakil Ketua Kelas	Sekretaris	Bendahara
29	28	27	26

Tempat pertama (ketua kelas) dapat diisi oleh 29 orang. Tempat kedua (wakil ketua kelas) dapat diisi oleh 29-1 = 28 orang, dikurangi 1 karena 1 orang telah mengisi tempat pertama sehingga tidak bisa mengisi tempat lain lagi. Demikian pula untuk tempat ketiga akan ada 29-1-1 = 27 orang yang dapat mengisinya (dikurangi 1 orang yang mengisi tempat pertama dan 1 orang yang mengisi tempat kedua). Dan tempat keempat dapat diisi oleh 29-1-1-1 = 26 orang (dikurangi 1 orang untuk tempat pertama, 1 orang untuk tempat kedua, dan 1 orang untuk tempat ketiga).

Jadi, akan ada 29 x 28 x 27 x 26 = 570024 cara berbeda untuk memilih 4 orang untuk menduduki keempat jabatan tersebut.

Contoh 4:

Dari angka 1, 2, 4, 5, dan 9 akan dibentuk suatu bilangan yang terdiri dari 4 digit. Ada berapa bilangan yang dapat dibentuk bila:

a. Angka-angka tersebut tidak boleh berulang?
b. Angka-angka tersebut boleh digunakan berulang?

Pembahasan:

a. Maksud dari “angka-angka tersebut tidak boleh berulang” adalah bahwa bilangan yang dibentuk tersebut tidak memiliki 2 digit atau lebih yang angkanya sama (contoh: 1224, 1222, 1255, dan 9999 tidak diperbolehkan).

Maka, filling slots-nya akan menjadi:

Ribuan	Ratusan	Puluhan	Satuan
5	4	3	2

Digit ribuan memiliki 5 pilihan, yaitu 1, 2, 4, 5 dan 9.

Digit ratusan hanya memiliki 5-1 = 4 pilihan.

Digit puluhan hanya memiliki 5-1-1 = 3 pilihan.

Digit satuan hanya memiliki 5-1-1-1 = 2 pilihan.

Jadi, banyaknya bilangan yang dapat dibentuk adalah 5 x 4 x 3 x 2 = 120 bilangan.

b. Karena angka-angkanya boleh digunakan berulang, maka:

Ribuan	Ratusan	Puluhan	Satuan
5	5	5	5

Pemilihan angka untuk digit ribuan tidak mempengaruhi jumlah cara pengisian untuk digit ratusan, puluhan, maupun satuan karena angka yang telah dipakai masih boleh digunakan. Demikian pula pemilihan angka untuk digit ratusan tidak mempengaruhi jumlah cara pengisian digit puluhan dan satuan. Dan pemilihan angka untuk digit puluhan tidak mempengaruhi jumlah cara pengisian digit satuan. Digit ribuan, ratusan, puluhan maupun satuan masing-masing akan memiliki 5 angka yang dapat dipilih.

Jadi, banyaknya bilangan yang dapat dibentuk adalah 5 x 5 x 5 x 5 = 625 bilangan.

http://mathsisgood.wordpress.com/2012/08/01/kombinatorika-aturan-penjumlahan-dan-aturan-perkalian/