A. Aturan Penjumlahan
Jika ada A dan B yang merupakan himpunan saling lepas dengan banyak
anggota himpunannya adalah x dan y, maka banyaknya cara mengambil satu
anggota dari gabungan keduanya akan sama dengan x+y, dinotasikan:
Atau secara sederhana digunakan saat ada sejumlah kejadian yang tidak
saling berhubungan (saling lepas). Dalam kondisi ini kejadian-kejadian
tersebut dijumlahkan untuk mendapatkan total kejadian yang mungkin
terjadi.
Contoh 1:
Dari kota A ke kota B ada beberapa jenis angkutan yang dapat
digunakan. Ada 4 travel, 2 kapal laut, dan 1 pesawat terbang yang dapat
dipilih. Ada berapa total cara berbeda untuk berangkat dari kota A
menuju kota B?
Pembahasan:
Dalam soal di atas ketika kita memilih travel, kapal laut, maupun
pesawat terbang tidak berpengaruh satu sama lain, ketiganya merupakan
himpunan yang saling lepas. Sehingga ada 4+2+1 = 7 cara berbeda untuk berangkat dari kota A menuju kota B.
B. Aturan Perkalian (Aturan Pengisian Tempat/Filling Slots)
Misalnya ada n tempat yang dapat diisi dengan a1 adalah banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama, a2 adalah banyak cara mengisi tempat kedua, dan seterusnya hingga an adalah banyak cara untuk mengisi tempat ke-n. Maka total cara untuk mengisi n tempat tersebut adalah:
a1 x a2 x … x an
Contoh 2:
Dari kota A ke B ada 3 jenis angkutan yang bisa digunakan, yaitu
travel sebanyak 5 pilihan, kapal laut 4 pilihan, dan pesawat 2 pilihan.
Dari kota B ke C ada 2 jenis angkutan yang bisa digunakan, yaitu travel
sebanyak 3 pilihan dan kapal laut 1 pilihan. Berapa banyak cara berbeda
untuk berangkat dari kota A ke kota C dengan melalui kota B?
Pembahasan:
Dalam soal ini, dapat kita ilustrasikan ada 2 tempat yang harus
diisi, tempat pertama adalah banyak cara dari kota A ke B dan tempat
kedua adalah banyak cara dari kota B ke C.
Dari ilustrasi di atas terlihat bahwa dari A ke B akan ada 5+4+2 = 11 cara.
Sedangkan dari B ke C akan ada 3+1 = 4 cara.
Dengan demikian, total cara berbeda dari A ke C dengan melalui B adalah 11 x 4 = 44 cara.
Contoh 3:
Dalam sebuah kelas terdapat 29 murid. Ada berapa cara berbeda untuk
memilih ketua kelas, wakil ketua kelas, sekretaris, dan bendahara?
Pembahasan:
Akan ada 4 tempat yang harus diisi:
| Ketua kelas |
Wakil Ketua Kelas |
Sekretaris |
Bendahara |
29
|
28
|
27
|
26
|
Tempat pertama (ketua kelas) dapat diisi oleh 29 orang. Tempat kedua
(wakil ketua kelas) dapat diisi oleh 29-1 = 28 orang, dikurangi 1 karena
1 orang telah mengisi tempat pertama sehingga tidak bisa mengisi tempat
lain lagi. Demikian pula untuk tempat ketiga akan ada 29-1-1 = 27 orang
yang dapat mengisinya (dikurangi 1 orang yang mengisi tempat pertama
dan 1 orang yang mengisi tempat kedua). Dan tempat keempat dapat diisi
oleh 29-1-1-1 = 26 orang (dikurangi 1 orang untuk tempat pertama, 1
orang untuk tempat kedua, dan 1 orang untuk tempat ketiga).
Jadi, akan ada 29 x 28 x 27 x 26 = 570024 cara berbeda untuk memilih 4 orang untuk menduduki keempat jabatan tersebut.
Contoh 4:
Dari angka 1, 2, 4, 5, dan 9 akan dibentuk suatu bilangan yang
terdiri dari 4 digit. Ada berapa bilangan yang dapat dibentuk bila:
a. Angka-angka tersebut tidak boleh berulang?
b. Angka-angka tersebut boleh digunakan berulang?
Pembahasan:
a. Maksud dari “angka-angka tersebut tidak boleh berulang” adalah
bahwa bilangan yang dibentuk tersebut tidak memiliki 2 digit atau lebih
yang angkanya sama (contoh: 1224, 1222, 1255, dan 9999 tidak
diperbolehkan).
Maka, filling slots-nya akan menjadi:
Ribuan
|
Ratusan
|
Puluhan
|
Satuan
|
5
|
4
|
3
|
2
|
Digit ribuan memiliki 5 pilihan, yaitu 1, 2, 4, 5 dan 9.
Digit ratusan hanya memiliki 5-1 = 4 pilihan.
Digit puluhan hanya memiliki 5-1-1 = 3 pilihan.
Digit satuan hanya memiliki 5-1-1-1 = 2 pilihan.
Jadi, banyaknya bilangan yang dapat dibentuk adalah 5 x 4 x 3 x 2 = 120 bilangan.
b. Karena angka-angkanya boleh digunakan berulang, maka:
Ribuan
|
Ratusan
|
Puluhan
|
Satuan
|
5
|
5
|
5
|
5
|
Pemilihan angka untuk digit ribuan tidak mempengaruhi jumlah cara
pengisian untuk digit ratusan, puluhan, maupun satuan karena angka yang
telah dipakai masih boleh digunakan. Demikian pula pemilihan angka untuk
digit ratusan tidak mempengaruhi jumlah cara pengisian digit puluhan
dan satuan. Dan pemilihan angka untuk digit puluhan tidak mempengaruhi
jumlah cara pengisian digit satuan. Digit ribuan, ratusan, puluhan
maupun satuan masing-masing akan memiliki 5 angka yang dapat dipilih.
Jadi, banyaknya bilangan yang dapat dibentuk adalah 5 x 5 x 5 x 5 = 625 bilangan.
http://mathsisgood.wordpress.com/2012/08/01/kombinatorika-aturan-penjumlahan-dan-aturan-perkalian/
